Почему диагональ квадрата со стороной один равна корню из двух?

Этот факт открыт ещё во времена пифагорейцев и говорит он о том, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной. Иначе говоря, ни в каких единицах нельзя представить диагональ и сторону квадрата в целых числах. 

Нарисуем квадрат (зелёный), затем используем его диагональ, чтобы построить второй квадрат (красный).

Поскольку красный квадрат состоит из тех же кусочков, что и зелёный, но в удвоенном количестве, то площадь красного квадрата в 2 раза больше площади зелёного.

Допустим, единица, в которой сторона и диагональ соизмеримы, существует. Тогда мы сможем разбить квадраты на маленькие квадратные единички. Причём мы сможем это сделать с обоими квадратами.

Поскольку правый квадрат в два раза больше первого, то составляющие его квадратики можно разбить пополам.

Причём каждая из этих половин содержит столько же квадратиков, сколько содержит зелёный квадрат. Поскольку красный квадрат квадратный, то деление пополам можно повторить и по перпендикулярной оси, причём картинка останется симметрична.

Теперь каждая из бывших половин разделена ещё пополам. А эти половины же были равны зелёному квадрату. Поэтому, и зелёный квадрат можно разбить пополам.

Тут мы можем повторить для зелёного квадрата те же рассуждения, что и для красного, то есть, разделить его ещё раз пополам, в силу его квадратности.

Эти рассуждения можно повторять сколько угодно раз. Откуда следует, что если существует такая единица, которой можно измерить и сторону квадрата, и его диагональ, то количество этих единиц и в стороне и в диагонали будет таким числом, которое делится на 2 бесконечное число раз. То есть, изображённые нами маленькие квадратики должны быть бесконечно-малы. 

То есть, сторона и диагональ квадрата несоизмеримы.