По теореме Пифагора. Сначала этот факт был открыт эмпирическим путём.
- Построим равнобедренный прямоугольный треугольник с равными катетами.
- От каждого катета отложим квадрат.
- Замостим каждый из этих квадратов квадратной же плиткой.
- Количества плиточек от обоих квадратов хватит для того, чтобы замостить квадрат, отложенный от гипотенузы.
При переходе к погонным (они же линейные) мерам, площадь каждого квадрата, отложенного от катета, равно квадрату катета, площадь квадрата гипотенузы равна квадрату гипотенузы; соответственно длина гипотенузы равна корню квадратному из суммы квадратов катетов.
PS: хотя, скорее всего, для оценки мер не плиткой мостили, а монетами ("лептами") и зёрнами, что не меняет сути.