Зачем вычисляют триллионы знаков числа π?

Сейчас это уже просто способ отладки вычислительных аппаратных средств и программного обеспечения, а также способ поиска новых более точных алгоритмов аппроксимации. 

Для почти 70% практических нужд достаточно Лудольфова Числа, рациональной аппроксимации числа "пи" до 32-го знака. Для 100% практических нужд точность до 100-го знака является исчерпывающей. Точность до 100 знака была достигнута в 1706 астрономом Грешам Колледжа в Холборне Джоном Мэчином: бо́льшая точность, просто, нигде больше не нужна — ни в астрономии, ни в квантовой физике, ни в биологии, ни в химии. 
После 1706 года вычисление числа "пи" с бо́льшей точностью стало соревнованием алгоритмов, формул и т.д. Ну а сейчас это уже "соревнование компьютеров и программного обеспечения".