Может ли культурный человек писать с ошибками?

Проблема корректного ответа на ваш вопрос в том, что культурность величина спорная и неизмеримая, в то время как письмо без ошибок - характеристика достаточно конкретная.

В моём представлении культура и грамотность коррелируют, но не связаны напрямую. Хм… может лучше было написать не связаны напрямую, но коррелируют? Не важно. Они не причина и следствие, они опосредованные следствия общих причин.

Грамотность приходит не только от зубрёжки в школе. Грамотность - от чтения, от общения с грамотными людьми, от практики изложения своих мыслей.

Культура приходит от тяги к культуре. Тяга к культуре либо есть, либо её нет. Это уж как звёзды сойдутся. Но однозначно - имеющий тягу к культуре не удовлетворится тезисами:
"Вон Манька, медалистка школьная, полы в сортирах моет."
"Вон Василий, сроду без ошибок только "х.." мог написать, а иномарку имеет, бабла куча и всех баб в районе перетрахал."

Для тяготеющего к культуре "грамотность" не пустой звук. Другое дело, что грамотность ресурсоёмка. Она требует времени на обретение, усердия и некоторых природных способностей.

Например про себя могу сказать, что не претендуя на звание культурного, я высоко ценю грамотность, однако за десятки лет ею так и не овладел.