Может ли культурный человек писать с ошибками?

Да, и делает их много. Я это знаю из переписки с людьми о которых Вы слышали и которых вы многие видели. Уровень РАН и рядом. Причина в том, что когда человек сосредотачивается на главной мысли, работает со сложными текстами, получает интеллектуальную нагрузку в виде новой незнакомой ему информации, ему просто не до буковок в словах. Особенно когда есть ограничение по времени, т.е. идёт живой диалог в процессе переписки. Но к этому нужно стремиться. Хотя время жаль.