Слезы сотрудника от рабочего стресса - это боль компании/руководителя или личное дело самого сотрудника?

Это в любом случае боль компании и руководителя. Прежде всего потому, что какой бы ни была причина, компания может столкнуться с репутационными последствиями, если эти внутренние проблемы вытекут куда-то в публичное пространство. А вытекает такое нередко и, увы, не в лучшем виде.

Поэтому первая и важнейшая задача руководителя — поговорить с сотрудником 1-на-1 и не только попытаться понять, в чем проблема, но и искренне поинтересоваться, чем можно помочь. А проблемы бывают самые разные и неожиданные, равно как и способы помочь. 

Если это неадекватность процессов и нагрузки, как написали выше, то это одно.

Если это сложная ситуация в жизни сотрудника, когда вывести из себя может что угодно (при сильных переживаниях любой дополнительный стресс может вызывать неадекватную реакцию), то это другое.

Но бывают и т.н. ошибки подбора: взяли человека на заведомо стрессовую должность, а он оказался недостаточно стрессоустойчивым. Это уже третье.