Конечно, можно :)
Большинство моих друзей, закончивших Физтех, счастливо работают разработчиками, получив диплом, в котором на месте специальности написано "прикладная математика и физика", что формально не является образованием по специальности "программист". Классическое техническое образование даёт классную именно математическую базу, которая пригождается тем, кто хочет не просто писать тупой код, а делать что-то более серьёзное.
Если у вас бэкграунд совсем далёк от технического, расстраиваться тоже, конечно, не стоит. У меня есть знакомый гуманитарий, который поступил в Школу анализа данных (самая хардкорная в России школа про Data Science). У него получилось, и у вас получится стать разработчиком!
Вообще программирование -- это всегда про практику. Если начинаете не с нуля, то просто практикуйтесь как можно больше, стажировки здесь отлично подойдут. Если с нуля, то изучите основы, а дальше начинайте использовать свои знания, чтобы закрепить и углубить их. Структурировать процесс обучения и сформировать практику могут запросто помочь отдельные школы, онлайн- и оффлайн-программы. У Яндекса их много. Если интересно, можно посмотреть вот здесь и здесь.
Мой добрый друг так и не получил никакой формальной специальности, но нынче он очень большой человек в SAP, правда сам программированием наверное лет десять как не занимается.
Вообще изи, кодеров-самоучек и причем талантливых, очень много. Для работодателя, нанимающего программиста, важно не наличие дипломов и всяких красивых бумажек, а знания.