Работать, конечно, можно. Но в некоторых случаях бюрократическая система требует от работодателя подтверждения квалификации сотрудников. Например, это нужно для участия в госзакупках, прохождения сертификации и т.п. Подтверждением квалификации, к сожалению, до сих пор является диплом сотрудника по соответствующей специальности. Поэтому каким-то сертификатом/дипломом лучше обзавестись. Вдруг пригодится, не вам, а вашему работодателю.
Мой добрый друг так и не получил никакой формальной специальности, но нынче он очень большой человек в SAP, правда сам программированием наверное лет десять как не занимается.
Вообще изи, кодеров-самоучек и причем талантливых, очень много. Для работодателя, нанимающего программиста, важно не наличие дипломов и всяких красивых бумажек, а знания.