Можно работать программистом вообще без высшего образования. Т.е. не имея диплома.
А вот без образования не получится. Не получили формально - занимайтесь самообразованием. Это сложнее, отнимает много времени и сил, но у некоторых получается даже эффективнее чем в вузе.
Потребуются две "линейки" образования. Одна - изучение инструментов программирования. Бесконечная гонка за все более эффективными языками и средами программирования. Вторая - изучение профессии, для которой ведется разработка. При создании медицинского ПО особенно ценятся программисты, способные понимать медиков и т.д.
Мой добрый друг так и не получил никакой формальной специальности, но нынче он очень большой человек в SAP, правда сам программированием наверное лет десять как не занимается.
Вообще изи, кодеров-самоучек и причем талантливых, очень много. Для работодателя, нанимающего программиста, важно не наличие дипломов и всяких красивых бумажек, а знания.