Я думаю, что она нужная, потому что слово "чаша" станет многозначным, если менять Щ на Ш.
Также будет читаться: Я шёл в нашу рошу и собрал шавели и шиповника. Я надел плаш и побежал на плошадку. Мне нравится своя зубная шётка, ею шикотно чистить зубы, но я прошаюсь с ней.
Прошаюсь? Это от слова просить? Ну а что? Видно по корню. Чередование в корне. Но удобно так читать? Нет. Поэтому Щ лучше оставить.