Почему христианство приобрело такую силу на Западе, а не на Востоке?

Если вы о политической силе, имея в виду централизацию управления в Европе под властью римского первоиерарха (папы), то этому причин несколько. Во-первых, на Востоке в Византии уже была сильная императорская власть, которая на Западе пала под натиском "варварских этносов" и церковная власть вынуждена была к этому факту приспособляться. Во-вторых, на Западе в силу более высокой культурности, именно Церковь выступила как собиратель остатков греко-римской культуры, образования, учености. В-третьих, из-за своей первоначальной слабости, западная Церковь была исторически избавлена от большинства великих еретических споров Византии, догматика в Риме развивалась очень медленно и в основном Рим лишь фиксировал финальную точку зрения этих споров. Отсюда западная Церковь не знала еретических гонений и еретических императоров, которые бы ослабляли её силу. В-четвертых, в силу своей объединяющей роли западная Церковь выступила арбитром в спорах "варварских королевств" и завоевала прочный авторитет среди нарождающихся династий Европы. Ну и в-пятых, политическая и социальная стабильность Европы после V-VII в. росла, а Византия испытывала все новые расколы и удары извне. Центральная и западная Европа же была защищена с восточной стороны Русью, с юго-востока- Византией, с юга - Испанией (которая приняла все удары арабского нашествия), с Севера - морями и с Запада - Атлантическим океаном.

Если же говорить о религиозной силе, то я её особо не вижу. Религиозно Европа как раз проигрывала сначала Византии, а потом Древней Руси и даже Московскому царству. Религиозная проблематика Византии очень далеко ушла в сторону мистического богословия, в то время как религиозное развитие Запада после "великой схизмы" 1054 года пошло в основном по пути схоластического богословия, то есть формула тут была философия+богословие, а на Востоке - аскетика+богословие. В результате западные богословы решали "весьма актуальные" проблемы отношения Бога и мира, религии и естествознания (а что еще могут решать философы в рамках своих задач), а восточные мистики-богословы - развивали собственно представление о природе Бога, Искупления и проч. (то есть занимались как раз своим делом - богословскими проблемами). В результате отношения между Богом и миром в западном католичеством богословии свелись к арифметике грехов, заслуг, добродетелей, а в богословии искупления воцарился юридизм, то есть представление о том, что Бог отдал своего Сына на крест в уплату юридическому сознанию, т.к. не мог же всемогущий Бог просто так простить согрешившее человечество, вот и отдал Сына - Христа, на мучения и Христос стал жертвой Бога за грехи человека, воссоединив людей с Богом. Бог в такой оптике предстает как всемогущий тиран, который убивает сына, чтобы иметь юридический повод простить и оправдать грехи людей. У тех протестантов, которые сохранили юридизм получилось еще хуже - Христос пошел на крест не за всех людей, а за избранных. И вот веками мучились схоласты, а потом протестантские богословы над этим вопросом, а мысль православного Востока решила его на Поместном Соборе 1157 года, определив, что Христос как Бог и Сын Божий принес жертву за грехи людей всей Троице, то есть в том числе и самому себе и таким образом, отрицали чисто юридический характер искупления, искупление происходило ради соединения Бога и людей, а не ради соблюдения формальной справедливости.