Термин "техническая поддержка сайта" имеет много значений:
1) Техническая поддержка со стороны хостинга. Обычно - это круглосуточная техподдержка в рамках услуг, входящих в тарифный план. Может включать автоматическое резервное копирование и защиту от вирусов и атак.
2) Техническая поддержка программной платформы сайта (настройка CMS, обновление версий CMS, резервное копирование, смена шаблонов, подключение функциональных модулей) необходима для обеспечения функциональности сайта. Такие работы не относятся к услугам хостинга (хотя возможно, хост-провайдер и оказывает их в виде дополнительной оплаты работы специалистов). Поддержка программной конфигурации сайта может входить в услуги разработчиков сайта или нанятых сторонних специалистов.
3) Техническая поддержка различных индивидуальных программных решений (интеграция с другими программными продуктами, автоматизация процессов, индивидуальные программные разработки с их развитием). Такая техническая поддержка программных продуктов ведётся их разработчиком (или собственной командой).
Каждое направление требует различных специалистов. И повсеместно можно встретить спекуляции на некомпетентности заказчика (особенно в области технической поддержки). Но если задача сайта – это просто "быть" в интернете, то достаточно минимальной (и не регулярной) технической поддержки после его публикации.