Я работаю официально по трудовой. Так же хочу устроиться на вторую работу по трудовому договору. Законно ли это?

Здравствуйте! Да, законно. Работа по совместительству в РФ не запрещена. Если график не установлен (а на удаленке он тоже может быть с работой в определенные часы), можно быть совместителем и на третьей работе, и даже на четвертой (ст. 282 ТК РФ). Главное, чтобы это не мешало выполнению должностных обязанностей везде, иначе могут уволить по п.5 ч.1 ст. 81 ТК РФ.

А еще продолжительность работы по совместительству должна быть не более четырех часов в день (ст. 284 ТК РФ). Эти часы делятся между всеми работодателями, у которых вы можете совмещать работу. Но если точный график не определен договорами, в теории это ограничение учитывать необязательно. Главное, чтобы по всем договорам все было законно.

Работодателя по основному месту работы уведомлять о совместительстве необязательно. О вашей второй работе он вряд ли узнает, если только не решит почитать выписку из электронной трудовой книжки - сейчас они ведутся в обязательном порядке. С другим работодателем вам достаточно заключить трудовой договор, а запись о совместительстве в бумажную трудовую книжку внесут по вашему желанию в организации по основному месту работы.