Можно и на ум приходят два способа.
1) если у поставщика нет API, то при заказе на сайте письмо должно дублироваться на 3 электронных адреса: клиенту, вам, поставщику.
2) Если у поставщика есть API, то информация о заказе уходит поставщику после подтверждения вами заказа в ЛК.
Есть ещё куча вариантов, но этого в большинстве случаев хватит.
В чем проблема? Просто выберите CRM-систему с разграничением прав доступа, когда вы обработали заказ, то при изменении статуса поставщику переходит этот клиент. У нас в U-CRM можно настроить подобный функционал.