Можно автоматизировать разными способами.
Если поставщики понятные, из список постоянный, вероятно подойдет RetailCRM. Там есть много готовых интеграций с курьерскими службами. Нажали на кнопку и к вам уже едет курьер.
Если не все так просто и очевидно, есть нюансы, то нужно создавать систему для себя. Идеально подойдет Битрикс24, возможно amoCRM. Но это будет не стандартная установка, а индивидульный проект для вашего бизнеса.
В чем проблема? Просто выберите CRM-систему с разграничением прав доступа, когда вы обработали заказ, то при изменении статуса поставщику переходит этот клиент. У нас в U-CRM можно настроить подобный функционал.