В каких разделах математики применяется математический метод индукции?

Во всех.

Поскольку одним из первичных понятий математики является понятие натурального числа, а, согласно выдающемуся итальянскому математику Джузеппе Пеано (ученик Анжело Дженокки по Туринскому университету, затем его ассистент и в дальнейшем профессор, преподавал параллельно в Военной Академии, затем покинул её, всё надо уточнять - Л.К.), принцип индукции, первоначально в явной форме задействованный Блезом Паскалем, этот принцип лежит в основе содержательной аксиоматики натурального ряда, точнее, множества натуральных чисел по Пеано, то, по меньшей мере неявно этот принцип входит фундаментом и органически во все математические рассмотрения, связанные с понятием натурального числа и шире - числа и величины вообще.

И в понятие формы косвенным образом. Поскольку Декартова арифметизация позволяет синтетическую геометрию сводить к аналитической в тех или иных геометрических областях, вплоть до новейших топологических изысканий.

Л.К.

Укажу мою собственную работу по прямому применению принципа  / метода полной / математической индукции в построении индуктивного доказательства одной теоремы статистика Джеймса Дедденса:

Коганов Л.М.

Комбинаторное доказательство теоремы Дедденса.

Сб."Алгебраические системы с одним действием и отношением", ред Е.С. Ляпин, Ленинград, ЛГПИ им. А.И. Герцена, 1985;

питерский "ляпинский" сб. "Современная алгебра", издаваемый в пед. ин-те им. А.И. Герцена под разными названиями выпусков, стр. 46 - 53, РЖ Мат 1А191.

В этой работе, считаю, мной использован метод математической индукции (кстати, II- го рода, так называемый метод "пробега" от всех в совокупности предшественников - к последователю, а не только от предполагаемой в индуктивном шаге в индуктивном переходе истинности непосредственного предшественника - Л.К.- в отличие от ограничений из ответа уважаемого госп. Б.А. Державеца) наиболее содержательно. В дальнейшем вывод теоремы Дедденса  мною же был упрощён, от применения (прямого) метода математической индукции при упрощении мне довелось отказаться.

Это не единственная моя работа с явным применением метода математической индукции.

"Старое, но грозное оружие…" (не помню, из какого стиха, да и неважно здесь! - Л.К.).

К.