Геометрический смысл (geometric meaning) числа π — площадь круга единичного радиуса или полупериметр окружности (половина длины окружности) единичного же радиуса.
Аналитический смысл числа π — предел последовательности десятичных расширений {3; 3,1; 3,14; 3,141; 3,1415…}. Также квадрат интеграла Пуассона. Здесь же примеры рядов, бесконечных произведений, интегралов, цепных дробей и т.д. Сюда же пи через дедекиндовы сечения (извините, мне просто лень расписывать).
Алгебраический смысл числа π — элемент кольца периодов.
Смысл в контексте школьной геометрии, элементарной алгебры и начал анализа: отношение длины окружности к её диаметру.