В большинстве случаев для описания движения в Солнечной системе вполне хватает классической механики и ее продолжают широко использовать.
Необходимость что-то менять возникла из-за постоянства скорости движения света в любой системе отсчета. В итоге была создана специальная теория относительности (СТО), с которой связано большинство эффектов (негравитационных), которые на слуху. Изменение течения времени, расстояний, зависимость массы от скорости, связь массы с энергией. Практическое значение имеет, например, замедление времени на спутниках, учитываемое в системе спутниковой навигации.
СТО совместима с квантовой физикой, но несовместима с ньютоновской гравитацией. Описать гравитацию в ТО удалось, постулировав искривление четырехмерного пространства-времени (в СТО оно четырехмерное, но не искривленное). То есть, создав общую ТО (ОТО). Экспериментально ОТО подтверждается наблюдением за прохождением света вблизи Солнца, объяснением наблюдаемых особенностей движения Меркурия и т. д. Недавно, вон, гравитационную волну зарегистрировали и ее скорость - световая, как предсказано в ОТО, а не бесконечная, как у Ньютона. Кроме того предсказаны, но экспериментально не доказаны, черные дыры, замедление времени вблизи массивных объектов и условия, позволяющие путешествовать в прошлое (о последнем, например, здесь - https://thequestion.ru/questions/103531/vopros-k-fizikam-teoretikam-esli-takovye-imeyutsya-pochemu-nevozmozhno-puteshestvovat-vo-vremeni-dazhe-esli-vozmozhno-to-kak ).
Ни от каких "прочих сил" ТО не отказывалась, равно как не отказывалась и от законов сохранения энергии / импульса / момента количества движения, равноправия инерциальных систем отсчета и пр.
Проблема с ОТО состоит в ее несовместимости с квантовой физикой. Один из возможных путей решения ищут в рамках теории (на деле - гипотезы) струн / бран.