В чем основная идея философии экзистенциализма, если объяснять простыми словами?

Экзистенциализм, по-простому, это философия несводимости переживания собственной жизни к внешним умопостигаемым смыслам.
Наука, религия и искусство окружают нашу жизнь, но наше собственное интимное её переживание не исчерпывается ими, в нем есть нечто большее и оно неизбывно иррационально, оно принимается "вслепую", по причинам, которые имеют значимость только внутри самого этого переживания жизни:
"Мало кто из нас слышит музыку, звучащую внутри - но каждый из нас под неё танцует"

Различается правый и левый экзистенциализм. И тот, и другой сосредотачиваются на изучении человеческого субъективного социального мира. Нет другого мира для нас, кроме того, который ограничен нашим субъективным человеческим видением - мы ничего не знаем за пределам себя.
"Объективное"(научное), так называемое - все равно наше субъективное, наше социальное, наш опыт, от этого никуда не уйти, нет другого "факта", кроме "человеческого восприятия факта, который человек же сам для себя и создал".

Левый экзистенциализм политически связан с либерализмом и социализмом(одно следует из другого) и  определен Сартром не просто как констатация экзистенции, но и как прямо из неё следующие установки:
1. Так как человек не сводим к сумме того, что его составляет, он вынужден принять то, что у него нет признаков, помимо тех, которые он сам для себя своими действиями создаст, нет смысла жизни, кроме того, который он и создаст.
Человек - вне зависимости от обстоятельств - всегда свободен и ответственен.

2. Будучи свободным и ответственным за себя, человек при этом всегда ограничен интерпретацией происходящего и не может гарантировать правильности своих действий, потому он тревожен и заброшен в бытие, где вынужден создавать свои смыслы, не веря в их наличие до него самого, и это неизбежно.

Правый экзистенциализм в политическом смысле тесно связан с философией правого политического спектра, с нацизмом, фашизмом и консерватизмом, с Хайдеггером и его интерпретацией смыслосозидания человека в его Бытии через Зов Бытия, который ограничен границами национального коллективного смысла, выраженного через язык.

Так, для него самого этим Зовом был призыв Гитлера к подлинному человеческому через снятие наносного, неподлинного, спекулятивного смысла, который самим Хайдеггером понимался как непоуорененный, чужеродный и ложный.

Физическим воплощением этого смысла было то, что Хайдеггр понимал как Мировое Жидовство, то есть вытеснение смысла , корневого для национального бытия человека, через вовлечение его в ложное ничто и захват его бытия еврейской ложью, экономическим спекуляциями, глобальным вытеснением того, что нужно на самом деле - тем, что только кажется таковым.

Бытийность нельзя разрушить, но можно лишить человека связи с самим собой и своими национальными смыслами через манипуляцию и то, что Хайдеггер в очень широком смысл понимал как Махинации.

Мир, построенный на них, перестает отвечать на собственные вызовы по существу.

Если очень огрубить - то можно употребить современное слово "зомби"(Хайдеггер на момент написания Бытия и Времени его не знал, но искал способ выразить нечто бесконечно тонкое, не употребляя неточных слов типа "мёртвое живое", "ненастоящее настоящее", потому что дело совсем не в этом) для описания бытия, которое вовлечено в неподлинное через махинации Мирового Жидовства. Только даже не по отношению к человеку, а вообще ко всему "миру человека".Внешнее сохраняется, но при этом смысл словно бы "пропадает".

Евреи, как народ, сам по себе неукорененный в бытии,  могут сущствовать толко через махинации, паразитируя на подлинном.
Соответственно, по Хайдеггеру, нет никакого уничтожения того, что не существует, то есть существ-махинаторов(не-существ, не-органичных, не-Бытия-относительно-времени).

Ещё проще: посмотрите фильм "Матрица", это левый экзистенциализм в попсовой форме.

Правый экзистенциализм - это тоже про "Выйти из матрицы и осознать, что ты раб", но при этом Матрица - это евреи(хотя точнее - жиды, а ещё точнее - Жидовство как сущность), а ты - национально укорененный в бытии Нео, которого сосут через подмену понятий  в христианстве и эксплуатационную экономику.

Правые и левые экзистенциалисты друг с другом поэтому жестко трутся.
Для первых - левые экзистенциалисты жертвы Жидоматрицы(христианство, Маркс, Энгельс и их учитель Мозес Гесс), а задача - освободиться к подлинному через зов национального.

Гуманизм должен быть переосмыслен через переопределение того, кто считается человеком, а кто только под него подделывается, отделить Нео от Агентов Смитов

Для левых - правые реакционеры, и они должны выйти из национальной матрицы к универсальной через классовую и гуманистическую, отбросить ложную надстройку и критически преосмыслить мир через конфликт бытийных ценностей.

Гуманизм надо переопределить через универсальное человеческое переходное:
Сартр:
"...невозможно найти универсальную сущность, которая была бы человеческой природой,....(но)
 все же существует некая общность условий человеческого существования. Не случайно современные мыслители чаще говорят об условиях человеческого существования, чем о человеческой природе. Под ними они понимают, с большей или меньшей степенью ясности, совокупность априорных пределов, которые очерчивают фундаментальную ситуацию человека в универсуме. Исторические ситуации меняются: человек может родиться рабом в языческом обществе, феодальным сеньором или пролетарием. Не изменяется лишь необходимость для него быть в мире, быть в нем за работой, быть в нем среди других и быть в нем смертным. Пределы не субъективны и не объективны, скорее, они имеют объективную и субъективную стороны. Объективны они потому, что встречаются повсюду и повсюду могут быть опознаны. Субъективны потому, что переживаемы, они ничего не представляют собой, если не пережиты человеком, который свободно определяет себя в своём существовании по отношению к ним. И хотя проекты могут быть различными, ни один мне не чужд, потому что все они представляют собой попытку преодолеть пределы, или раздвинуть их, или не признать их, или приспособиться к ним. Следовательно, всякий проект, каким бы индивидуальным он ни был, обладает универсальной значимостью. Любой проект, будь то проект китайца, индейца или негра, может быть понят европейцем. Может быть понят — это значит, что европеец 1945 года может точно так же идти от постигнутой им ситуации к её пределам, что он может воссоздать в себе проект китайца, индейца или африканца. Любой проект универсален в том смысле, что понятен каждому. Это не означает, что данный проект определяет человека раз навсегда, а только то, что он может быть воспроизведён.

Всегда можно понять идиота, ребёнка, дикаря или иностранца, достаточно иметь необходимые сведения.

В этом смысле мы можем говорить о всеобщности человека, которая, однако, не дана заранее, но постоянно созидается.

Выбирая себя, я созидаю всеобщее. Я созидаю его, понимая проект любого другого человека, к какой бы эпохе он ни принадлежал.

Эта абсолютность выбора не ликвидирует относительности каждой отдельной эпохи. Экзистенциализм и хочет показать эту связь между абсолютным характером свободного действия, посредством которого каждый человек реализует себя, реализуя в то же время определённый тип человечества, — действия, понятного любой эпохе и любому человеку, и относительностью культуры, которая может явиться следствием такого выбора"