Если подходить к вопросу формально, то это русский язык "похож" на санскрит, поскольку появился позже. Многие индусы считают, что свою классическую форму санскрит получил в результате деятельности лингвиста Панини. Тем самым намекается, что живой санскрит был несколько другим, чем тот язык, который мы знаем сейчас.
В Интернете существуют множество "доказательств", что индусы, знающие санскрит, почти полностью понимают русскую речь. Я думаю, что это не совсем правда -- понимаются лишь некоторые слова.
Считается, что изначальный санскрит -- язык ариев, которые пришли в Индию где-то 3500 лет назад. То, что большинство предков ариев было родом из Понтийско-Каспийской степи -- уже почти доказано. Но ошибочно утверждать что арии - предки славян. Это несколько разные этносы, их можно назвать двоюродными братьями или дядей и племянником. У них была несколько различная культура и технологические достижения. Арии, к примеру, приручили лошадь и придумали колесницы; была развита металлургия. Не думаю, что колесницы были широко применимы у славян.
Таким образом, язык ариев и язык славян, скорее всего, восходит к общему предку. Но, возможно, индоевропейский (прото-славянский) язык 4-5 тысяч лет назад уже был неоднородным и было взаимное проникновение одного диалекта в другой. Думаю, этот вопрос будет нерешённым, ибо нет никаких письменных источников для его разрешения.
Необходимо заметить, что сходство санскрита наблюдается не только с русским языком, а вообще со многими славянскими языками и, даже, с немецким, литовским и латышским. Но думаю, что сейчас никто всерьёз не считает, что латыши, литовцы и немцы являются родственниками ариев или что арии основали эти народы. Просто языки этих народов вобрали многие прото-славянские слова (и грамматику). Одновременно сами славяне вобрали в свой язык множество неславянских слов и, таким образом, отдалились от санскрита как лексически, так и грамматически.