Санскрит и русский язык (наряду с большинсвом языков Европы и многими языками Ближней Азии) относятся к индоевропейской языковой семье, то есть являются потомками т.н. праиндоевропейского языка. Носители праиндоевропейского языка жили примерно 10-8 тысяч лет назад. И санскрит -- один из древнейших его "наследников".
Если мы на каком-то этапе своего развития имели общий язык, то не удивительно, что, разойдясь своими путями, наши языки сохранят много общего.
И сразу 2 оговорки: 1) санскрит я не знаю, но я знаю латынь, которая структурно пуля-в-пулю похожа на русский язык 2) я не компаративист, поэтому мои знания не самые глубокие.
Структура. Синтаксис, словообразование, падежи, числа, склонения -- всё это довольно близко совпадает, за исключением, конечно, некоторых нюансов. Почему тогда не совпадает с тем же английcким? Ох, это длинная история, которая займёт у вас 2 и 3 курсы обучения на лингвиста :D Но, в общем, тут дело в том, что русский язык пошёл по той стезе развития, которая сохранила в нём падежи и всё остальное. Английский в своей молодости тоже был очень даже похож по структуре, но потом стал аналитическим языком (то есть, вместо того, чтобы изменять сами слова, он добавляет вспомогательные).
Лексика. Обычно, когда говорят, что санскрит так похож на русский, имеют в виду лексику:
дарава = деревянный
датар = дающий
два = два
двар = дверь
Да, куча похожих слов. Но в том-то опять и дело: эти слова пришли в наши языки ещё из праиндоевропейского! Учёные-компаративисты провели большую работу и восстановили множество корней праиндоевропейского языка, сравнив с теми языками, которые существуют сейчас
Например, *(s)mei- ("смеяться"): рус.смеяться, старосл. смѣѭ, укр.сміятися, санскр.smayate, лит.smagintis, латыш.smaids, тохар. Аsmi > smi, лат.mīrus, греч.meidos, ирл.míad > , польск.śmiech, англ.smearcian > smirk.
Можете ознакомиться со страничкой на Википедии, там огромный список.
Почему русские слова ещё и звучат похоже? Этого сама не знаю, но догадываюсь, что это случайное совпадение фонетических предпочтений народов. И, опять же, когда мы говорим "совпадение", подразумеваем совпадение далеко не полное.
Для ответа просмотрела "Грамматический очерк санскрита" А.А. Зализняка, можете тоже ознакомиться для более глбокого понимания темы http://daolao.ru/Sanskrit/zalizn_grammatika_sanskr.htm