Даже песню можно написать
Попугай ты его, попугай
Ты его, попугай - попугай,
попугай, ты его попугай, попугай,
Попугай, ты его попугай....
На мотив "Дерева вы мои дерева"
А версия "папагалл - петух Римского папы" состоятельна?
А можно вообще не ставить запятых, а поставить восклицательный знак - "Попугай его попугай!". Что-то вроде "Разрази его гром!" на бразильский манер.
Еще один вариант: "Попугай, его попугай". Так мог бы представиться попугай друзьям своего хозяина на манер Джеймса Бонда - "Бонд, Джеймс Бонд".