попугай, его, попугай - шизофазия, словесная окрошка, word salad
попугай, его попугай - а меня-то зачем пугать
попугай его, попугай - повторяет за ним всю чушь
попугай его, попугай - пусть он знает, что ты улетишь...
попугай его, попугай - попугай, ты его испугай!
А версия "папагалл - петух Римского папы" состоятельна?
А можно вообще не ставить запятых, а поставить восклицательный знак - "Попугай его попугай!". Что-то вроде "Разрази его гром!" на бразильский манер.
Еще один вариант: "Попугай, его попугай". Так мог бы представиться попугай друзьям своего хозяина на манер Джеймса Бонда - "Бонд, Джеймс Бонд".