По идее - нет, не зарабатывают. Но на деле все не совсем так.
Благотворительные фонды могут зарабатывать совершенно скандальным образом, пользуясь деньгами на свое усмотрение и вытесняя другие фонды. Получается что-то вроде рыночных отношений. Яркий пример - это скандал с фондом Таблеточки.
Кроме того, фонды могут наживаться на контрактах с зарубежными клиниками. Например, если фонд отправляет на лечение за границу, он может направлять только в определенные клиники. С которыми все договорено. Да, фонд заплатит за Вас, но взамен получит комиссию от клиники.
В общем, много путей есть.
Но не все Фонды этим страдают, конечно. Однако в сети постоянно фигурируют разные разоблочительные истории, не думаю, что это спроста.