Возможно, конечно. Их, конечно, проверяют перед полетом, но всегда есть шанс что-то упустить. Бактерии и вирусы в невесомости ведут себя так же, как на Земле. К тому же космонавт может подхватить, например, простуду, замерзнув за бортом, если будет проблема с системой контроля температуры его скафандра.
А что будет? Ну если это что-то незначительное - подлечиться. На станции есть аптечка и в ней все необходимое, а космонавты проходят басовую мед. подготовку. Если выяснится, что это что-то серьёзное, то миссию можно завершить досрочно, отправив всех на Землю.