Каковы недостатки системы управления, в которой право голоса имеют только те, кто доказал свою компетентность в вопросе, поставленном на голосование?

Компетентными должны быть не конкретные люди, а общество. И понятно, каким образом можно сделать общество менее компетентным: ввести цензуру, ограничить распространение нежелательных точек зрения, отказаться от дебатов, не предоставлять специалистам по различным вопросам правила высказываться, в целом разрушать образование, и порицать нежелательные точки зрения, например заявлять, что либерализм - это антоним патриотизма.

Недостатки предложенной вами системы в том, что невозможно создать объективную систему оценки компетентности и в том что очень сложно избежать коррумпированности этой системы.