Как объяснить парню, что готовка и уборка — тоже его обязанности?

В вопросе не обговорены ни финансовые (разница в доходе между М и Ж), ни жилищные обстоятельства (кто у кого живёт), поэтому придётся рассуждать абстрактно.

1. Не взваливать их на себя и ещё на самой ранней стадии знакомства откреститься от “женских” бытовых обязанностей.

Тошнит уже, честно, от женщин на сайтах знакомств с хобби “кулинария”, “люблю готовить” и всем остальным. Даже в провинциальный “Тиндер” высаживаются “хозяюшки“.

А потом они жалуются на “вторую смену” по дому.
2. Не вставать в позу “ты мне должен!!!11”.

Даже рутина — не поле боя, а пространство для компромиссов и личных границ.

Позиция “я... упахиваюсь на работе и вынуждена у плиты стоять, а ты не ценишь, мерзавец!!!11” заведомо проигрышная и агрессивная, потому что вы в ней обозначаете субординацию, в которой ответственность лежит на мужчине. Один обидится, второй — продавит вас и дальше.

Равноправные отношения на этом не построишь.
3. Попросить помыть посуду на первом свидании на жилплощади. Или сготовить. Или заправить кровать. Или пропылесосить. Или помыть пол. Можно и нужно сказать об этом прямо, мужчина не обладает телепатическими навыками.

Так вы покажете свою территорию и зону ответственности.
4. Подчёркивать, почему мужской домашний труд важен, на конкретных примерах вашей, женской пользы. Страстный секс, новые книги, больше времени на саморазвитие или повышение квалификации.

Если мужчина относительно вменяемый и не застрял в чтении “Домостроя”, то он только порадуется, что рядом с ним личность.

Уточняйте при этом, что никаких “мужских” обязанностей от мужчины не ждёте по умолчанию — и тем не менее вы можете ценить его мужские качества или, допустим, его мышцы и фигуру, — и тогда шансов на действительно гармоничный союз, в котором комфортно вам обоим, станет ещё больше.

К сожалению, в постсовке жив архаичный подход, что мужчина — стратег и политик (деньги, авторитет, представительство семьи на внешнем уровне), а женщина ответственна за тактику (рутина, быт, воспитание детей), который фактически выключает мужчин из семейной жизни, хоть и делает таким желанным мужское социальное лидерство.