Как физики вычисляют "возраст вселенной"? Возможно ли это в принципе?

Да, это возможно. Да, это было сделано. Механизм вычисления возраста уже хорошо описан в других ответах. Да я и сам отвечал неоднократно. Вот, например.

Что касается понятия Вселенной. Тут действительно нужно разделять исторически сложившиеся термины и фактическую научную терминологию. 

Исторически Вселенной называлось вообще все. Вот только этого "всего" наблюдалось мало: планеты, наиболее яркие звезды и все. Потом научились делать телескопы и стало видно чуть больше. Но все равно подавляющее большинство наблюдаемых космических объектов принадлежат нашей галактике. Поэтому со Вселенной вплоть до Эйнштейна и даже немного уже при нём ассоциировали галактику Млечный путь.

И лишь с открытием других галактик стало понятно, что Вселенная немного больше. Насколько именно больше, тоже выяснилось не сразу, поэтому в ходу был термин метагалактика. В принципе, в русскоязычной литературе он и сейчас используется. Ну, типа, "мета", т.е. нечто большее, чем просто наша Галактика.

В популярной литературе термин "Вселенная" используется в самых различных значениях, но ученые несколько более скрупулезны. Астрофизика и космология четко разделяют термин просто "Вселенная", который употрябляется в исходном смысле "вообще всего существующего", и термин "наблюдаемая Вселенная". Под вторым понимается та часть Вселенной, которая в настоящее время доступно астрономическим наблюдениям. Для краткости ученые, конечно, тоже часто пишут просто Вселенная, но по факту под этим почти всегда (если нет специальных оговорок) понимается наблюдаемая Вселенная.

И вот здесь можно при наличии некоторого воображения возразить: но ведь мы же не знаем, что там дальше, за пределами наблюдаемой Вселенной! А вдруг там… (подставить любое произвольное воображаемое явление).

Так вот. Здесь нужно понимать одну крайне важную вещь. Недоступность наблюдениям никоим образом не означает, что за этим пределом происходит что-то сверхъестественное.

Во-первых, потому что Общая теория относительности, которая лежит в основе современной космологии, четко и недвусмысленно указывает на то, что вся Вселенная (а не только наблюдаемая ее часть!) возникла в результате Большого взрыва. А ОТО, на секундочку, - это одна из самых успешных физических теорий, которая раз за разом подтверждается наблюдениями примерно всегда.

Во-вторых, граница "наблюдаемости" - условная. Там нет какой-то физической границы. Сместись мы на 100 миллионов световых лет в произвольную сторону, граница наблюдаемой Вселенной сместится вслед за нами. Это, кстати, напрямую следует из закона Хаббла. А значит, у нас просто нет ни одной причины думать, что за пределами этой условной границы происходит что-то сильно отличающееся от того, что мы видим здесь.

Неужели Вы и правда думаете, что все без исключения физики настолько глупы, что ни разу не обдумали возможность того, что они ошибаются? При том, что в физике вообще ничего и никогда не утверждается безапелляционно - только в рамках установленных доверительных интервалов. Т.е. физики всегда закладывают в свои теории вероятность того, что они заблуждаются.

Да и понятие "кругозор" тут не применимо. Мы же не школьную олимпиаду обсуждаем. Речь идет о конкретных физических наблюдениях с помощью точного наукоемкого оборудования, о сложных математических моделях, о научных теориях, которые проверяются на практике разными методами, чтобы исключить систематические ошибки. 

Так и с возрастом Вселенной. Эта гипотеза изначально появилась только из наблюдения за разбегом галактик, но за последние 100 лет была проверена множеством разных независимых способов (перечислять которые я не буду, можете самостоятельно посмотреть в Википедии, например), причем со все возрастающей точностью.

При полном отсутствии адекватных альтернативных объяснений всех этих наблюдений, возраст Вселенной обоснованно считается таким, каким он считается.

Впрочем, тут есть еще один "горизонт", за который мы пока не можем заглянуть - это сам Большой взрыв. Гипотетически, Вселенная могла быть и до Большого взрыва, просто в каком-то совершенно ином, немыслимом для нас состоянии. Причем слово "до" тут тоже не обозначает каких-то временных рамок в привычном бытовом смысле. Но обсуждать эту гипотезу в рамках физики на сегодняшний день невозможно - нет никаких данных, и даже малейшей тени возможности эти данные получить.