С очисткой беговых кроссовок от грязи всегда дикая беда. "Сеточка" очень любит собирать грязь и не любит с ней расставаться. Никакого универсального рецепта по очистке нет, нужно пробовать методом пробы. Всё зависит от качества изготовления кроссовок. Хорошие беговые кроссовки можно постирать (некоторые даже в стиральной машине) и просушить. Если эти кроссы не подделка, то вряд ли они развалятся или порвутся.
Что касаемо конкретно асиксов, то обычно проблем со стиркой нет. У меня было несколько пар кроссов этой фирмы и каждую из них я сначала замачивал в тазике со стиральным порошком на пару часов, а потом стирал в машине на бережной стирке. После сушки выглядели как новые. Но после третей-четвертой стирок начинали тускнеть и с каждым разом грязь всё тяжелее и тяжелее вымывалась, превращая некогда белоснежные кроссовки в серые грязедавы.
За всё своё время сколько бегаю в кроссах сеткой постоянно стиральная машинка приходит на помощь...
Проверенный вариант: щетка и мыльный раствор. Обмокнуть щетку в раствор и чистить так, чтобы он вспенивался на поверхности кроссовок, и после этого, сразу же протереть тряпочкой из микрофибры для удаления лишней влаги.