Имеется вертикальный металлический цилиндр, заполненный идеальным газом, в поле сил тяжести. Как распределена температура по высоте?

Отделим мух от котлет — уберём из вопроса металлический цилиндр-сосуд, так как металл обладает высокой теплопроводностью и никак не ассоциируется с замкнутой термодинамической системой. Пусть вертикальный цилиндрический сосуд сделан из материала с ничтожной теплопроводностью, полностью изолирован от внешней среды (абсолютный термос), а молекулы газа абсолютно упруго сталкиваются друг с другом и со стенками сосуда. Тогда ответ на главный вопрос о температуре по высоте, будет: — Да, возникнет градиент температуры по высоте.

Почему? Автор сам ответил на этот вопрос, я же предложу другой подход, который называется Демоном Максвелла и показан на рис ниже.

В камере, разделённой перегородкой с заслонкой, находится газ. Заслонка управляется демоном (см. рис.) и пропускает через себя быстрые молекулы (красным цветом), задерживая медленные (синим цветом). Очевидно, что со временем, в правой камере температура поднимется.

К чему это я? Да к тому, что автор задачи удачно заменил демона Максвелла гравитацией. Браво! Советую ему сделать поиск в интернете. Лично мне такая блестящая идея — материализация демона Максвелла, не встречалась.

Итак, демон Максвелла уменьшает энтропию системы и получает градиент температуры казалось бы без дополнительного подвода энергии к системе. Парадокс? Нет, если учесть, что система не замкнута и демон тратит энергию ровно такую, которая необходима для разделение горячих и холодных молекул в сосуде, то есть для перехода в состояние с меньшей энтропией.

Теперь вернёмся к нашему вертикальному цилиндрическому сосуду, в котором роль демона играет гравитация, которая ускоряет частицы в одном направлении (вниз), замедляя их в обратном (вверх). В результате, температура в нижней части сосуда будет выше температуры верхней части, при этом средняя температура останется неизменной. Энтропия системы уменьшится, но парадокса нет, так же, как и в случае демона Максвелла — система не замкнута, но уже из-за демона-гравитации, который и выполняет всю работу.

Можно ли утилизировать повышение температуры (внутреннюю энергию) термопарой?

Да можно. Принцип работы термопары в том, что молекулы газа должны передать часть своей энергии рабочему концу (горячему спаю) термопары, тогда как холодный спай находится вне термодинамической системы, с температурой окружающей среды. Рассеяния молекул на рабочем конце термопары должны быть неупругими, что неизбежно уменьшает скорости молекул, контактирующих с термопарой. Это уменьшит со временем среднюю температуру газа и в конце концов выровнит температуру газа в сосуде с температурой окружающей среды, т.е. приведёт к нулевой разности потенциалов на выходе термопары.

Таким образом, часть внутренней энергии превратится в работу, но это не нарушает основы термодинамики, так как термодинамическая система НЕ замкнута из-за термопары.