Согласно ст 61 ТК РФ трудовой договор вступает в силу со дня его подписания работником и работодателем либо со дня фактического допущения работника к работе с ведома или по поручению работодателя или его. Таким образом, раз работодатель допустил вас к работе и вы работаете уже, то трудовой договор заключен. При увольнении по собственному желанию вы обязаны предупредить работодателя за 2 недели до увольнения или уволиться по соглашению сторон без отработки.
Следует отметить, что в соответствии со ст 67 ТК РФ при фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе. Таким образом, ваш работодатель нарушил требования трудового кодекса и не оформил с вами в письменной форме трудовой договор.