Было ли татаро-монгольское иго? Какие бывают доказательства позиций «за» и «против»?

Татаро-монгольское иго было, но это было не тот вариант, что в школьных учебниках истории, ибо детям нужен чёрно-белый взгляд на подобные вещи, ибо они не могут воспримать сложную информацию с противоположными выводами плюс система общего образования очень консервативна и основывается в основном на науке конца 19 века. И кстати Соловьева использовать как историческое пособие я не рекомендую, ибо несмотря на безусловный вклад в развитие исторической науки, он был плоть от плоти науки того времени, с прямым прочтением источников, отсутствием доступа ко всему комплексу исторических источникам, археологии и т.д.

Если основываться на современной науке, то корпус источников обширен и охватывает практически всю Евразию, ибо монголы создали самую крупную непрерывную империю за всю историю человечества, конкретно по Западному походу, приведшиму к завоеванию Руси, наиболее подробно описано у арабских авторов, уже завоёванных монголами, так сказать взгляд изнутри, из которых наиболее объемными являются труды Рашид ад-Дина. 

С нашей стороны - это все письменные источники, в основном летописные и данные археологии. Западнее - все синхронные исторические источники.

Теперь собственно говоря по теме вопроса:

1. Необходимо делить само явление на 2 периода завоевание и само иго. Завоевание было самым жестким, оно в корне противоречило тогдашним феодальным реалиям, ибо монголы вели тотальную войну на уничтожение, с уничтожением городов, у нас самый яркий пример - Старая Рязань. Обладая всегда численным превосходством и небывалой для этого времени дисциплинированной армией имперского типа с подавляющим техническим превосходством, позволявшим относительно быстро брать города, монголы быстро без существенного сопротивления (кроме как раз нас, ибо мы смогли убить царевича чингизида в одной из битв, что насколько я в курсе никому больше не удавалось, но стратегически не могли выйграть по определению) захватили все интересующие их территории с грабежом, геноцидом, взятием в плен в основном ремесленников и т.д. В дальнейшем Русь была включена в состав монгольской империи на правах сателлита, как они поступали практически со всеми территориями, где отсутствовали степи, где они сами не жили. То есть мы платили выход (налог, а не дань), поставляли воинские контингенты (например есть данные, что русский корпус воевал в Китае). Мы были включены в состав империи, сначала монгольской, а потом Улуса Джучи (Золотой орды).
2. Минусы очевидны - первоначальный геноцид, грабеж, рабство и т.д., по археологическим оценкам население уменьшилось до 70%, в дальнейшем довольно большой налог в размере порядка 2-4% ВВП, что в условиях феодального натурального в основном хозяйства был существенен.
3. Плюсы не так очевидны, но они являются неразрывно связанны с минусами.

• Впервые от момента возникновения Руси мы были обезопасены от набегов со стороны степи, что позволило сосредоточить усилия на западном направлении, остановив экспансию немцев например.
• Идеологическое влияние отсутствовало. Монголы были язычниками, которых волновали грубо говоря только деньги, достаточно было того, что каждый день в наших церквях молились за царя (хана).
• Монгольское нашествие послужило триггером к процессу известному в историографии под "взлетом на холмы". Это перемещение существенных масс населения с русел рек, где как раз и действовали монголы, на водоразделы с переходом на трехполье, что конкретно послужило основой для внутренней миграции с густонаселенного и богатого юга на север в Суздальское Ополье, конкретно на Клино-димитровскую гряду с плодородными подзолистыми почвами, что привело как раз к возвышению Москвы и Твери, с последующей победой Москвы и столица у нас как раз она и есть.
• Само существование в рамках империи заложило основу политических преобразований кучи мелких государств без какого-либо единства с бесконечной феодальной войной всех против всех, ибо монголам было выгодно иметь дело с одним, а не с кучей князей и самым быстро подсуетившимся был Иван Калита, собственно говоря московский князь, который предложил свои услуги по сбору выхода со всей территории, естественно при этом часть его оседала в Москве (мало что изменилось), что и предопределило победу Москвы над Тверью.