Ответственность - это выполнение своих обещаний, а также договоренностей с другими людьми (как явных договоренностей, так и соблюдение негласных правил).
Поясняю на простом примере: ты говоришь маме "мама, давай ты не будешь проверять мой дневник и домашние задания целую четверть, не будешь меня контролировать, я сама буду делать все домашки и готовиться к контрольным, и обещаю, что я четверть закончу на 5-ки".
Это называется "взять на себя ответственность". Если ты действительно все делаешь потом без контроля мамы и оканчиваешь четверть на пятерки - то ты ответственный человек и тебе можно доверять.
Если без контроля мамы ты быстро перестала делать домашки и нахватала троек, то получается, что ты взяла на себя ответственность, но не выполнила договоренности, обманула доверие мамы, это называется "безответственный человек".