Что самое важное должен обеспечить родитель, чтобы его дети выросли самостоятельными и психически здоровыми?

Если самое важное выбирать, то: правильная иерархия (ребёнок не центр семьи);
уважение ко всем членам семьи;
родители психологически созревшие (психологически взрослые, а не по паспорту только).

Вот, пожалуй, это минимальные необходимые условия, в которых ребёнок сможет развиваться, а не выживать.
Соответственно, вырастет психически здоровым)