Что самое важное должен обеспечить родитель, чтобы его дети выросли самостоятельными и психически здоровыми?

Думаю, что самое важное - собственная зрелость. Для ребенка это проявляется в

умении родителя быть эмоционально устойчивым (когда способен не орать, а объяснять и показывать),

последовательным (если сегодня нельзя, то и завтра нельзя, если сегодня можно, то и завтра можно),

умении дать пищу и кров над головой. И здесь дело в не в количестве денег, а в их постоянстве. Путь небольшой поток, но он стабилен изо дня в день. Так, что ребенку не нужно думать что завтра покушать и что надеть, об этом заботится родитель.

Зрелый родитель не сможет воспитать несамостоятельного или безответственного ребенка. Он будет так выстраивать общение, правила и воспитание, что нужные качества будут воспитываться. Не то чтобы сами собой, но в результате его действий, его качеств, его взглядов на мир. Так что если хочется самостоятельного и психически здорового ребенка вырастить, то важно сначала самому стать таковым. Без этого ничего не получится. Это как пытаться научить водить, при этом когда сам водить не умеешь. Сначала собственный навык - затем обучаешь им другого.