Какую площадь должна иметь линза, чтобы сфокусированный ею солнечный луч мог воспламенить дерево?
Архимед в III веке до н.э. во время осады Сиракуз использовал, согласно письменным свидетельствам, зеркала, которые отражали солнечный свет прямо во вражеские корабли. Якобы таким образом Архимед сжёг целый флот. Какой площади должны были быть такие зеркала?
Давайте считать. На поверхности моря в полдень, в солнечный день плотность солнечной энергии равна около W = 1 кВ/м². Эта плотность энергии соответствует излучению абсолютно чёрного тела с температурой T согласно закону Стефана-Больцмана: W = σT⁴, где σ = 5,67×10⁻⁸ Вт/(м²⋅К⁴).
Если мы возьмём линзу (зеркало) площадью S = 1 м², и сконцентрируем эту энергию на поверхность площадью s = 0.01 м², 0.1 м² и 1 м², то температура поверхности достигнет значений T≤ 880 °C, 370 °C и 91 °C соответственно. При температурах более 800 °C, большинство сортов деревьев загорится.
Для случая задачи Архимеда, если площадь концентрации лучей на корабле для простоты взять s = 1 м², а температуру горения дерева 1000 К, тогда соответствующая площадь зеркала определится из того же закона Стефана-Больцмана и закона сохранения энергии: S = sσT⁴/W. Подставив численные значения получим ответ задачи Архимеда: S ≥ 56 м². Таким образом, история про осаду Сиракуз и гений Архимеда вполне жизнеспособна.