Уравнение Эйнштейна происходит от Второго Закона Ньютона?

Специальная теория относительности никак не связана с законами Ньютона. Но она уточняет эти законы для случая, если скорости движения тел достаточно велики.

Во времена Ньютона считался верным принцип относительности Галилея, который говорил о том, что механические явления (которые в частности и описываются законами Ньютона) не изменяются при переходе из одной инерциальной системы отсчёта в другую. Это происходит в том случае, если мы используем преобразования координат Галилея, когда координата меняется, а время нет, то есть оно считается абсолютным и идёт одинаково для всех.

Но когда начали изучать электромагнитные явления, то поняли, что их нельзя записать в таком виде, чтобы они удовлетворяли преобразованиям Галилея. Значит ли это, что принцип относительности не распространяется на электромагнитные явления? Или законы Ньютона неверны?

Специальная теория относительности как раз и утверждает, что законы Ньютона неверны! Они справедливы лишь при малых скоростях. Теория утверждает, что не только законы механики должны быть одинаковыми во всех инерциальных системах отсчёта, но и вообще ВСЕ явления, даже электромагнитные. Но для этого нужно отказаться от преобразований Галилея и использовать другие преобразования, которые называются преобразованиями Лоренца.

В них не только пространственные координаты зависят от времени, но и временны́е координаты зависят от пространственных. То есть время уже не является абсолютным, а может быть разным для разных наблюдателей, если они движутся относительно друг друга.

Вот картинка, которая показывает разницу между преобразованиями классической физики (слева) и релятивистской (справа).

Заметьте, что в релятивистском случае пространство и время входят в формулы симметрично, то есть связаны друг с другом и ведут себя очень похожим образом. Это кажется более естественным, чем предположение, что время должно быть неизменным. Абсолютность времени совершенно ни откуда не следует, разве что из жизненного опыта, где мы не имеем дела с большими скоростями.