Для начала стоит пояснить смысл обеих частей равенства e^{ix} = cos(x) + i*sin(x).
Правая часть - это комплексное число, которое соответствует точке (cos(x), sin(x)) на единичной окружности.
С левой частью сложнее. Число e, да ещё в мнимой степени, строго определяется лишь средствами математического анализа. Однако пояснить, почему формула Эйлера записывается именно так, всё же можно.
Обозначим f(x) = cos(x) + i*sin(x). Тогда f(0) = 1 и f(x+y) = f(x)f(y) (это равенство нетрудно проверить, пользуясь формулами синуса и косинуса суммы). Встречается ли в школе функция с такими свойствами? Да, такова показательная функция g(x) = e^{ax}. Осталось понять, почему a = i. Проще всего это сделать с помощью производной:
f'(x) = -sin(x) + i*cos(x), f'(0) = i;
g'(x) = ae^{ax}, g'(0) = a.
Таким образом, для равенства f(x) = g(x) требуется, чтобы a было равно i.