Какими знаниями по математике должен обладать ребенок (дошкольник) для уверенности в себе в первом классе?

Знания по математике и уверенность в себе не сильно связаны :), одно из другого не следует. Но я точно знаю две критичные вещи, без которых невозможно научиться математике, и которым в школе могут и не научить. Откровенно говоря, с большой вероятностью не научат.

1. Смысловое чтение. Очень велика вероятность, что в школе будут учить читать вслух на скорость. А для математики нужно совсем другое: медленное чтение и перечитывание с целью понимания.

У учителя практически нет возможности обсуждать с каждым ребёнком прочитанное, задавать ему вопросы, выслушивать ответы и задавать новые вопросы. Хорошо, если родители обсуждают с ребёнком прочитанное, и если ребенок полюбит читать ещё до школы. Если этого не добиться, велика вероятность, что в школе отобьют охоту к чтению. А вместо понимания текста задачи научат вычленять отдельные фрагменты: -- если в задаче написано "вместе", надо сложить;

-- если сказано "в ... раз больше", надо умножить

и т.д. Эти приемы краткосрочные, обычно они приводят к неплохим оценкам в младшей школе и к проблемам в средней школе.

Привычка к чтению на понимание поможет не только в математике.

2. Вкус к обоснованиям. Важно хотя бы хоть сколько-нибудь обосновывать свои идеи и понимать обоснования чужих. Возможно, учитель будет требовать выполнения всего подряд: пропускать четыре клеточки между классной и домашней работой, расставлять циферки над знаками действий (порядок выполнения) и проверять сложение вычитанием. Если все правила свалены в кучу, без разделения на математику и нематематику, ребенок к концу младшей школы приучается не рассуждать, а выполнять все подряд. Опять-таки, это в младшей школе может привести хорошим оценкам, а в старшей школе -- к отрицательному результату. Важно не только знать правила, но еще и понимать, почему они работают так, а не иначе.

Дошкольникам и младшим школьникам полезнее обосновывать не верность каких-то утверждений, а неверность. Например: у Маши с Дашей было 5 яблок, они разделили их поровну, по 3 штуки. Хорошо, если дошкольник может построить рассуждение и показать, что здесь есть ошибка.

Обосновывать верные утверждения сложнее; они могут казаться очевидными, и ребенок не понимает, что тут обосновывать; легко скатиться в повторение ритуальных фраз.