Занимаются ли в математических ВУЗах той же математикой, что и в школах, или это полностью иной предмет?

Скажем так, в школе дают необходимый фундамент, который, конечно же, будет использоваться в ВУЗе.

Умножение и сложение в столбик пригодится для понимания теории колец и теории групп, хотя казалось бы это просто алгоритмы "досчитывания". Та же таблица умножений пригодится для понимания структур общей алгебры (колец и групп) и таблиц Кэли.

Те же самые полиномы и тригонометрия раскроются "как бы с другой стороны" как и, например, начальные сведения о векторах, дифференциировании и интегрировании.

Ответ на Ваш вопрос двойственный: "и да и нет". Т.е., качественно это совсем другая математика другого уровня абстракции, но "онтологически" она "вырастает" из школьной.