Прав ли Георг Кантор в том, что бесконечное множество может быть равномощно собственному подмножеству?
Нет сомнения в том, что Георг Кантор великий математик. Но в его теории множеств, которая претендовала на то, чтобы стать основанием всей математики, есть результаты, которые являются поводом для сомнений. Вот один из них.
С помощью предложенного Кантором принципа взаимно однозначного соответствия доказано, что имеются случаи, когда бесконечное множество равномощно своему строгому подмножеству, в частности, натуральный ряд имеет ту же мощность, что и бесконечное множество четных чисел. Проследим первый этап доказательства этого утверждения.
Даны два ряда
1, 2, …, N;
2, 4, …, 2N.
С помощью принципа взаимно однозначного соответствия мы легко убеждаемся, что при стремлении N к бесконечности эти два ряда равномощны.
А теперь вспомним то что, если A – подмножество B, то любой элемент A является элементом B.
А теперь ответьте на вопрос:
при стремлении N к бесконечности на каком шаге число 2N становится элементом множества, у которого величина каждого числа не превосходит N?
МатематикаНаука+2
Давайте на пример посмотрим.
Рассмотрим две функции: 1/x и 1/{2x}. С одной стороны для каждого x имеем 1/{2x} < 1/x. С другой стороны обе функции при достаточно больших x станут сколь угодно малыми, так что не вызывает сомнений что они обе стремятся к нулю, при x стремящемся к бесконечности. Однако, если применить Вашу логику, то предел функции 1/{2x} должен быть строго меньше чем 1/x. Ведь на каждом x — меньше, правда?
Рассмотрим две функции: 1/x и 1/{2x}. С одной стороны для каждого x имеем 1/{2x} < 1/x. С другой стороны обе функции при достаточно больших x станут сколь угодно малыми, так что не вызывает сомнений что они обе стремятся к нулю, при x стремящемся к бесконечности. Однако, если применить Вашу логику, то предел функции 1/{2x} должен быть строго меньше чем 1/x. Ведь на каждом x — меньше, правда?
Теперь вернёмся к нашим множествам.
Вот два верных утверждения:
- Если A,B — конечные множества, и B является собственным (т.е. не пусто и не совпадает с B) подмножеством A, то биекции между A и B быть не может.
- Если A,B — бесконечные множества, и B является собственным подмножеством, то биекция между ними возможна.
Перескок от конечных множеств к бесконечным — конечно сложен для восприятия и Вы не первый человек, кто испытывает трудности с этим моментом. Но, пожалуй, стоит просто принять, что конечные и бесконечные множества имеют принципиально разную (в смысле мощности) природу. И совпадение (или не сопадение) каких-то свойств на конечных подмножествах само по себе ничего не даёт.
Вот и в нашем исходном примере: на каждом конечном множестве значения одной функции строго меньше значений другой. А "в бесконечности" они ассимптотически "выравниваются".
Я бы советовал взять какую-нибудь книжку по теории множеств, например эту, и аккуратно прорешать оттуда задачи. Тогда многое станет понятнее.
4 эксперта согласны
Уважаемый Спрашиваюший безусловно и даже очень хорошо знаком с содержанием задачника Лаврова - Максимовой, и... Читать дальше
Если вопрос о математике, то фраза "при стремлении N к бесконечности эти два ряда равномощны" не имеет смысла. Доказывая равномощность двух множеств, мы не конструируем их, а воспринимаем как уже данные нам. Другими словами, мы... Читать далее
2 эксперта согласны
Хороший ответ. Имхо.
Л.К.
Георг Кантор утверждал, что бесконечное множество может быть равномощно своему подмножеству. Это утверждение, известное как "парадокс Кантора", стало одним из самых известных и спорных вопросов в математике.
Суть парадокса... Читать далее
"Лень - двигатель прогресса технического и регресса человеческого". КЕВ
Перейти на vk.com/e.kandzyuba
1 эксперт согласен
Считаю весь, написанный Отвечающим, весь его второй от начала абзац математически неточным / и даже сильнее -... Читать дальше
Мне кажется, вопрос поставлен некорректно. Бесконечные множества, как мы их представляем себе, обладают свойствами, отличными от свойств конечных множеств. Рассматривать только конечные множества и вопрошать: когда же в них... Читать далее
Математик неправ тогда и только тогда, когда из аксиом и/или определений этого математика нельзя вывести указанное утверждение.
Так что Кантор прав, по крайней мере, в вашем вопросе нет указаний на его логические ошибки.
Тем не... Читать далее
В этом вопросе Кантор прав. От себя добавлю: если подмножество тоже бесконечно, то равномощность будет наблюдаться всегда.
S = 1+2+3+4+… (1)
умножаем обе части на 2
2S = 2+4+6+8+…
S-2S = -S = 1+3+5+7+… (2)
поскольку S очевидно > 0 (следует из 1), то сумма всех нечётных чисел отрицательна.
Это пример того, что обычная логика и правила арифметики не... Читать далее
Отрицание логическое или алгебраическое?
> С помощью принципа взаимно однозначного соответствия мы легко убеждаемся, что при стремлении N к бесконечности эти два ряда равномощны.
Ничто никуда не стремится. Мы задаём взаимно-однозначное отображение одного множества на... Читать далее
2 эксперта согласны
Это, имхо, не есть полноценный ответ на вопрос в его начальной постановке.
Фразу: "Ничто никуда не стремится"... Читать дальше
Георг Кантор, кажется, первый по счёту президент немецкого математического общества (Deutsche Mathematiker Vereinigung) работал с понятием актуальной иными словами данной (нам) в едином акте и всецело, а не в виде своей... Читать далее
Л.К., прошу прощения, но ответа на свой вопрос в Вашем комментарии я не увидел. Или он слишком завуалирован…
Ну, это уже и "Да", и "Нет" одновременно.
"Нет" потому что бесконечность может начаться после любого числа. Таким образом получаем:
X = {1, [бесконечность] }
Y = {1, 2, [бесконечность] }
X является подмножеством Y
А "Да"... Читать далее
мне кажется, при установлении равномощности множеств не имеет значение качество их элементов, по определению, главное - доказать биекцию (вазимное однозначное соответствие) … вон, говорят, можно установить равномощность... Читать далее