Прав ли Георг Кантор в том, что бесконечное множество может быть равномощно собственному подмножеству?
Нет сомнения в том, что Георг Кантор великий математик. Но в его теории множеств, которая претендовала на то, чтобы стать основанием всей математики, есть результаты, которые являются поводом для сомнений. Вот один из них.
С помощью предложенного Кантором принципа взаимно однозначного соответствия доказано, что имеются случаи, когда бесконечное множество равномощно своему строгому подмножеству, в частности, натуральный ряд имеет ту же мощность, что и бесконечное множество четных чисел. Проследим первый этап доказательства этого утверждения.
Даны два ряда
1, 2, …, N;
2, 4, …, 2N.
С помощью принципа взаимно однозначного соответствия мы легко убеждаемся, что при стремлении N к бесконечности эти два ряда равномощны.
А теперь вспомним то что, если A – подмножество B, то любой элемент A является элементом B.
А теперь ответьте на вопрос:
при стремлении N к бесконечности на каком шаге число 2N становится элементом множества, у которого величина каждого числа не превосходит N?
МатематикаНаука+2
Георг Кантор, кажется, первый по счёту президент немецкого математического общества (Deutsche Mathematiker Vereinigung) работал с понятием актуальной иными словами данной (нам) в едином акте и всецело, а не в виде своей (начальной ) части бесконечности.
Понятие предельного перехода предполагает пошаговое развитие / стремление к - этой самой бесконечности. Конечные множества и бесконечные демонстрируют существенно различные свойства: так уж выходит в математике.
Исследованию понятия актуальной послеканторовской бесконечности были посвящены усилия математиков первых двух третей двадцатого прошлого столетия, связанные со становлением и развитием современной математической логики и, параллельно, с исследованиями в области аксиоматизации / основаниями математики, начиная с Паша, Гиьберта, Пеано и других Мастеров и отнюдь не закончив дело Жаком Эрбраном, Гёделем, Коэном вплоть до наших: Маркова-младшего, Новикова-старшего, Колмогорова, Успенского, Драгалина и ныне здравствующих.
Среди логиков есть течения, идущие от голландца Брауэра, отрицающие для актуально бесконечных множеств (сильный) закон исключённого третьего (терциум нон датур). Они создали некоторую свою математику "без канторова рая", однако в конкретных приложениях значительно менее эффективную и для обоснования куда как более трудоёмкую.
Пока альтернативные подходы себя, считаю, не вполне оправдывают, но находятся в стадии развития и становления.
Когда-то лишь выдающиеся исследователи (ученики Бартельса) Гаусс и Лобачевский (параллельно сын студенческого друга Гаусса Фаркаша Больяи Янош, австро-венгерский офицер по образованию) могли мыслить о параллелизме и множественности (плоских, соотв., пространственных) геометрий. Теперь это доступно среднему студенту мехмата, начиная примерно с 5 - 6 семестров.
Возможно, так будет и с матлогикой при её достаточном дидактическом развитии, и с теоретико-множественными теориями. Кто знает.
Л.К.
Л.К., прошу прощения, но ответа на свой вопрос в Вашем комментарии я не увидел. Или он слишком завуалирован…
@Борис Кулик, просто предельное значение расширяющихся вовне (конечных) множеств может обладать и в данном случае именно обладает свойством (вообще говоря, во множественном числе), ранее не присущим компонентам расширения (каждому в отдельности и всем одновременно).
Ваш, уважаемый Б.К., пример отнюдь не единичен - такие примеры мы сплошь наблюдаем (и даже посильно конструируем, в частности здесь на Q) в ТФДП - теории функций действительной переменной.
Благо ныне обсуждаемая весьма широко в Сообществе М&м = Математика и математики аксиома полноты (по Дедекинду, ранее по Кантору - Архимеду, есть ещё подходы) доставляет / предоставляет нам такие возможности.
Л.К.
Переживания "аксиомы полноты" и "актуализации понятия континуума" сродни болезни типа "ветрянки": лучше, если они проходят (в математическом окружении почти безвредны, но неприятны - сужу по себе - Л.К.) в промежуток взросления где-то от 15 до 25 лет. После могут быть рецедивы упорного неприятия (особенно в среде инженеров). Но это - тоже, считаю, не смертельно и (главное!) не ущербно (для возможных приложений). Курант - Роббинс (сокр. КР по "Матсмеси" Литлвуда) в ограниченных дозах сберегает от осложнений.
Так считаю.
Л.К.
Вы пишете "Конечные множества и бесконечные демонстрируют существенно различные свойства: так уж выходит в математике."
Тогда вопрос, можно ли доверять тем результатам в математике, в которых доказываются соотношения в рядах при использовании методов, в которых N стремится к бесконечности?
@Борис Кулик, это - к классическим и сравнительно недавно переизданными "Лекциям по аналитическим и эллиптическим функциям" Адольфа Гурвица, там - первые параграфы.
Да, степенные ряды пополняют и естественно пространство полиномов = многочленов (в данном случае от одной буквы - переменной по незабвенному Дмитрию Константиновичу Фаддееву - довелось слушать его доклад на первой и последней питерской конференции по работе математиков со школьниками -1975), причём пополняют хорошо - с сохранением всех необходимых алгебраических операций. О топологической сути позаботился Карл Вейерштрасс в поименованной теореме (там же, в том же источнике, горячо рекомендую! - Л.К.- пока ещё можно купить URSS-ный репринт с кочино- икорниковского "чёрного" издания).
Ваш Л.К.
Настоящим прошу редакторов, кураторов, в том числе и основателей Сообщества "Математика и математики" на Q удалить как ответ, так и все без исключения комментарии госп. Севашко по настоящему вопросу, поставленному госп. Куликом Б.А.
Заранее признателен.
Л.К.
Надеюсь, комментаторы, кроме указанного госп. Севашко, присоединятся к моей просьбе.
К.
Давайте на пример посмотрим.
Рассмотрим две функции: 1/x и 1/{2x}. С одной стороны для каждого x имеем 1/{2x} < 1/x. С другой стороны обе функции при достаточно больших x станут сколь угодно малыми, так что не вызывает сомнений... Читать далее
4 эксперта согласны
Уважаемый Спрашиваюший безусловно и даже очень хорошо знаком с содержанием задачника Лаврова - Максимовой, и... Читать дальше
Если вопрос о математике, то фраза "при стремлении N к бесконечности эти два ряда равномощны" не имеет смысла. Доказывая равномощность двух множеств, мы не конструируем их, а воспринимаем как уже данные нам. Другими словами, мы... Читать далее
2 эксперта согласны
Хороший ответ. Имхо.
Л.К.
Георг Кантор утверждал, что бесконечное множество может быть равномощно своему подмножеству. Это утверждение, известное как "парадокс Кантора", стало одним из самых известных и спорных вопросов в математике.
Суть парадокса... Читать далее
"Лень - двигатель прогресса технического и регресса человеческого". КЕВ
Перейти на vk.com/e.kandzyuba
1 эксперт согласен
Считаю весь, написанный Отвечающим, весь его второй от начала абзац математически неточным / и даже сильнее -... Читать дальше
Мне кажется, вопрос поставлен некорректно. Бесконечные множества, как мы их представляем себе, обладают свойствами, отличными от свойств конечных множеств. Рассматривать только конечные множества и вопрошать: когда же в них... Читать далее
Математик неправ тогда и только тогда, когда из аксиом и/или определений этого математика нельзя вывести указанное утверждение.
Так что Кантор прав, по крайней мере, в вашем вопросе нет указаний на его логические ошибки.
Тем не... Читать далее
В этом вопросе Кантор прав. От себя добавлю: если подмножество тоже бесконечно, то равномощность будет наблюдаться всегда.
S = 1+2+3+4+… (1)
умножаем обе части на 2
2S = 2+4+6+8+…
S-2S = -S = 1+3+5+7+… (2)
поскольку S очевидно > 0 (следует из 1), то сумма всех нечётных чисел отрицательна.
Это пример того, что обычная логика и правила арифметики не... Читать далее
Отрицание логическое или алгебраическое?
> С помощью принципа взаимно однозначного соответствия мы легко убеждаемся, что при стремлении N к бесконечности эти два ряда равномощны.
Ничто никуда не стремится. Мы задаём взаимно-однозначное отображение одного множества на... Читать далее
2 эксперта согласны
Это, имхо, не есть полноценный ответ на вопрос в его начальной постановке.
Фразу: "Ничто никуда не стремится"... Читать дальше
Ну, это уже и "Да", и "Нет" одновременно.
"Нет" потому что бесконечность может начаться после любого числа. Таким образом получаем:
X = {1, [бесконечность] }
Y = {1, 2, [бесконечность] }
X является подмножеством Y
А "Да"... Читать далее
мне кажется, при установлении равномощности множеств не имеет значение качество их элементов, по определению, главное - доказать биекцию (вазимное однозначное соответствие) … вон, говорят, можно установить равномощность... Читать далее