Это доказывается пока только экспериментально, так как природа гравитации до конца не изучена. Есть разные теории: силовые (гравитоны) и ОТО и т.д.
Однако именно благодаря закону убывания согласно квадрату расстояния эти силы формируют стабильные системы. В классической физике решением системы, управляемой такими силами, является круговая или эллиптическая траектория одного тела вокруг другого. Такие движения наблюдаются в небесной механике (галактики, звезды, планеты, спутники).
Если бы обратная степень зависимости силы от расстояния даже немного отличалась от 2, то материальные объекты не могли бы существовать, и планеты врезались бы в звезды (степень в знаменателе менее 2) или бесконечно дрейфовали в одиночестве в темной и холодной вселенной (степень в знаменателе более 2) .
Поэтому мы обязаны самому нашему существованию зависимости величины силы гравитации обратно пропорциональному квадрату расстояния.