Думаю, дело не столько в тренировке памяти и прочих косвенных положительных результатах, сколько в том, что авторы программ таким образом пытаются погрузить школьников в культурный контекст. Люди, составляющие учебники и программы - профессиональные филологи, живущие книгами. Многие из них могут помнить десятки, если не сотни стихотворений и целых поэм (скажем, всего "Евгения Онегина"). Ну а дальше всё просто - то, что для профессора естественно, потому что интересно, предписывается школьникам в качестве обязаловки.
А я учу стих, забываю его в разных сроках, плохо говорю и жалуюсь на память. Может, надо мигрировать в Израиль?
Для развития всех видов памяти и мыслительных способностей. Многие стихи, выученные в школьном возрасте, остаются в памяти человека надолго и помогают запоминать большие объёмы необходимой информации в дальнейшей жизни.