Если говорим про гражданский процесс, то в исключительных случаях суд может возложить оплату на проведение на обе стороны, распределив их потом на проигравшую сторону или пропорционально удовлетвореным требованиям.
В арбитраже экспертизу без внесения суммы на депозит не назначат. А в общей юрисдикции эксперт формально не может отказать в проведении и без оплаты, но расходы будут распределены с проигравший стороны в решении, либо в отдельном определении по заявлению эксперта.