Добрый день, Ирина. Нет, это невозможно. До тех пор пока вы полностью не погасите задолженность, квартира будет в залоге у банка. Это значит, ваши права на распоряжение собственностью ограничены. Оформить собственность не на себя вы можете только сняв с квартире залоговое обременение.
Нормальной практикой является залог приобретаемой недвижимости, которая оформляется в собственность должника. Если же заложить имеющееся недвижимое имущество и приобрести другое - его можно будет оформить на третье лицо.