Разница понятна даже интуитивно. Если горит, например, дом, то burn up - это когда разгорается пожар, распространяется огонь, а burn down - это когда всё сгорело, и дом обрушился.
То есть, burn up - это поджечь спичку, разжечь костёр, загореться идеей, перегреть двигатель (и "перегреваться" на работе); а burn down - спалить дом, покончить с прошлым, уничтожить что-либо.
"Я разожгу (burn up) огонь революции, в котором сгорит (burn down) правительство".