На самом деле эти два фразовых глагола очень похожи по смыслу, и даже некоторые носители языка могут использовать их в одном и том же значении.
Тем не менее, разница есть, хоть она для многих и несущественна.
- Burn (sth) up - полностью что-либо разрушить или полностью израсходовать, уничтожить огнем.
- Burn (sth) down - уничтожить что-либо, особенно здание, огнем.
Таким образом "burn up" больше употребляется в значении израсходования. (именно поэтому мы употребляем этот термин, когда говорим про эмоциональное выгорание)
Пример: All the fuel burned up. (Все топливо израсходовано.)
"Burn down" же чаще используется, когда мы говорим о вещах, которые сгорели дотла (полностью исчезли).
Пример: Their house burnt down. (Их дом сгорел. (дотла))