Я бы ответил так: если упростить, то дизайнер это тот, кто сосредоточен больше на прикладном характере искусства, а художник — на его креативной области.
Как тот, кто учился на художника, но стал дизайнером, могу, опираясь на свой опыт, сказать — это, как говорят математики, область размытых множеств. Одно зернышко — не куча, и два — не куча, и сто — не куча... но 10 000 зернышек — это уже безусловно куча. Где то зернышко, после которого не куча становится кучей? Где та грань, что отделяет дизайнера от художника? Одно плавно переходит в другое. Всякий художник — в чем-то дизайнер, и наоборот. В зависимости от индивидуального склада и жизненных обстоятельств в ком-то реализуется преимущественно дизайнер, а в ком-то — художник.