Имеет ли право неофициальный работник требовать выплату заработной платы в день увольнения?

С вами не подписан трудовой договор,  но согласно ст 67 ТК РФ Трудовой договор, не оформленный в письменной форме, считается заключенным, если работник приступил к работе с ведома или по поручению работодателя или его уполномоченного на это представителя. При фактическом допущении работника к работе работодатель обязан оформить с ним трудовой договор в письменной форме не позднее трех рабочих дней со дня фактического допущения работника к работе. Таким образом, здесь есть нарушения трудового законодательства со стороны работодателя. У вас должны быть доказательства работы, это переписка, звонки, свидетели и т.п. Поэтому в последний рабочий день с вами должны произвести полный расчёт.